§2-3 矩陣的特徵值與特徵向量                                

        對於一個n-by-n的實數/複數方陣A而言, 所謂A的特徵值 λ 是滿足運算式
        Ax= λ x , 其中λ 是常數(實數/複數), x是非零的向量(稱為λ 之特徵向量). 
        通常我們令 P(λ )= det(A- λ I), I是單位矩陣, P(λ )的展開式稱為A之
        特徵多項式(characteristic polynomial), 解P(λ )= 0 即可得所有的特徵值. 
        某個特徵值也許出現重根, 其重根數稱為代數重根數(algebraic multiplicity).

        不同的特徵值c₁, c₂, ..., c_n, 所對應的特徵向量{v₁, v₂, ... , v_n}是線性獨立, 
        因此 P = [v₁ v₂ ...  v_n]所形成的矩陣是非奇異矩陣(nonsingular), 其反矩陣
        P^-1 存在, 而且  C = PAP^-1 是由特徵值形成的對角矩陣(diagonal matrix), 即
        表示矩陣A可以對角化, 寫成 A=P^-1CP , 我們稱矩陣A相似(similar)矩陣C. 

        某個特徵值之所有特徵向量與零向量的集合可形成向量空間, 此向量
        空間的維度(dimension)被稱為特徵值的幾何重根數(geometric multiplicity). 
        若幾何重根數不等於代數重根數, 則矩陣A無法對角化, 但是我們可以
        觀察它的Jordan Form.
                                               
        其他有關特徵值與特徵向量之應用, 例如 :
        考慮微分方程組 
                                 x'(t) = 2x+ 3y ; 
                                 y'(t) = 2x + y ;
           表為線性方程組可寫成 X'= A X, 其通解與A的特徵值有密切關係, 
           特徵值是否不同? 是否重根?是實根或共軛複數根? 都會影響方程組
           通解的表示方式. 以此例A的特徵值是 -1, 4 (一正一負), 通解寫成
                                x(t) = - c₁ e^-t + 3c₂ e^4t  ; 
                                y(t) =   c₁ e^-t + 2c₂ e^4t  ;                
          
                                              

         其圖形如上, 
         我們可以觀察到奇異點(critical point)(0, 0), 屬於鞍點(saddle point).

         其中為特徵值 -1對應的特徵向量, 為特徵值 
          4的特徵向量.
         若把通解寫成  , 則 X(t) =  c₁ V₁e^-t + c₂ V₂ e^4t .